橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）與直線x+y-1=0相交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：1a2+1b2等于定值；
（Ⅱ）當(dāng)橢圓的離心率e∈[33，22]時(shí)，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
OP
⊥
OQ
1
a
2
+
1
b
2
e
∈
[
3
3
，
2
2
]
【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．
【答案】（Ⅰ）證明：
消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0
Δ=4a4-4（a2+b2）a2（1-b2）＞0，a2+b2＞1
設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則，
由，x1x2+y1y2=0，
即x1x2+（1-x1）（1-x2）=0
化簡(jiǎn)得2x1x2-（x1+x2）+1=0，
則
即a2+b2=2a2b2，故；
（Ⅱ）．
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 |
x + y - 1 = 0 |
消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0
Δ=4a4-4（a2+b2）a2（1-b2）＞0，a2+b2＞1
設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則
x
1
+
x
2
=
2
a
2
a
2
+
b
2
，
x
1
x
2
=
a
2
（
1
-
b
2
）
a
2
+
b
2
由
OP
?
OQ
=
0
即x1x2+（1-x1）（1-x2）=0
化簡(jiǎn)得2x1x2-（x1+x2）+1=0，
則
2
a
2
（
1
-
b
2
）
a
2
+
b
2
-
2
a
2
a
2
+
b
2
+
1
=
0
即a2+b2=2a2b2，故
1
a
2
+
1
b
2
=
2
（Ⅱ）
[
5
，
6
]
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：151引用：9難度：0.1
相似題
-
1．已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為
、F1（-22，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．F2（22，0）
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程．發(fā)布：2024/12/29 11:30:2組卷：443引用：6難度：0.8 -
2．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C的離心率為
，面積為8π，則橢圓C的方程為（ ?。?/h2>32發(fā)布：2024/12/29 12:0:2組卷：229引用：7難度：0.5 -
3．已知橢圓
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6，則該橢圓的方程為（ ?。?/h2>x2a2+y2b2發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：12引用：2難度：0.7