2.若函數(shù)y=F(x)的定義域?yàn)镈,且對于任意的x
1、x
2∈D,“F(x
1)=F(x
2)”的充要條件是“x
1=x
2”,則稱函數(shù)y=F(x)為D上的“單值函數(shù)”.對于函數(shù)y=f(x),記
f
(1)(x)=f(x),f
(2)(x)=f(f(x)),f
(3)(x)=f(f(f(x))),…,f
(n+1)(x)=f(f
(n)(x)),其中n=1,2,3,…,并對任意的A?D,記集合f
(n)(A)={f
(n)(x)|x∈A},并規(guī)定f
(n)(?)=?.
(1)若f(x)=2x+1,函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,求f
(2)([0,1])和f
(3)([0,1]);
(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,且存在正整數(shù)m,使得對任意的x∈D,x∈D,f
(m)(x)=x,求證:函數(shù)y=f(x)為D上的“單值函數(shù)”;
(3)設(shè)a∈(0,1),若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋?,1],且表達(dá)式為:
判斷y=f(x)是否為(0,1]上的“單值函數(shù)”,并證明對任意的區(qū)間I?(0,1],存在正整數(shù)k,使得f
(k)(I)∩I≠?.