已知橢圓C：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

1

（

a

＞

b

＞

0

）

的右焦點為F（1，0），且點P（1，

3

2

）在橢圓C上；
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C₁：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

-

5

3

=1上異于其頂點的任意一點Q作圓O：x²+y²=

4

3

的兩條切線，切點分別為M、N（M、N不在坐標軸上），若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m、n,證明：

1

3

m

2

+

1

n

2

為定值；
（3）若P₁、P₂是橢圓C₂：

x

2

a

2

+

3

y

2

b

2

=

1

上不同兩點，P₁P₂⊥x軸，圓E過P₁、P₂，且橢圓C₂上任意一點都不在圓E內(nèi)，則稱圓E為該橢圓的一個內(nèi)切圓，試問：橢圓C₂是否存在過焦點F的內(nèi)切圓？若存在，求出圓心E的坐標；若不存在，請說明理由．