已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），且點(diǎn)P（1，32）在橢圓C上；
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)橢圓C1：x2a2+y2b2-53=1上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)Q作圓O：x2+y2=43的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N（M、N不在坐標(biāo)軸上），若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m、n,證明：13m2+1n2為定值；
（3）若P1、P2是橢圓C2：x2a2+3y2b2=1上不同兩點(diǎn)，P1P2⊥x軸，圓E過(guò)P1、P2，且橢圓C2上任意一點(diǎn)都不在圓E內(nèi)，則稱圓E為該橢圓的一個(gè)內(nèi)切圓，試問(wèn)：橢圓C2是否存在過(guò)焦點(diǎn)F的內(nèi)切圓？若存在，求出圓心E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
3
2
x
2
a
2
+
y
2
b
2
-
5
3
4
3
1
3
m
2
+
1
n
2
x
2
a
2
+
3
y
2
b
2
=
1
【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）．
（2）證明：
由題意：C1：+=1，
設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），
∵M(jìn)，N不在坐標(biāo)軸上，∴kPM=-=-，
∴直線PM的方程為y-y2=-（x-x2），
化簡(jiǎn)得：x2x+y2y=，①，
同理可得直線PN的方程為x3x+y3y=，②，
把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入①、②得
，
∴直線MN的方程為x1x+y1y=，
令y=0，得m=，令x=0得n=，
∴x1=，y1=，
又點(diǎn)P在橢圓C1上，
∴（）2+3（）2=4，
則+=為定值．
（3）E（-，0）．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）證明：
由題意：C1：
x
2
4
3
y
2
4
設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），
∵M(jìn)，N不在坐標(biāo)軸上，∴kPM=-
1
k
OM
x
2
y
2
∴直線PM的方程為y-y2=-
x
2
y
2
化簡(jiǎn)得：x2x+y2y=
4
3
同理可得直線PN的方程為x3x+y3y=
4
3
把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入①、②得
x 2 x 1 + y 2 y 1 = 4 3 |
x 3 x 1 + y 3 y 1 = 4 3 |
∴直線MN的方程為x1x+y1y=
4
3
令y=0，得m=
4
3
x
1
4
3
y
1
∴x1=
4
3
m
4
3
n
又點(diǎn)P在橢圓C1上，
∴（
4
3
m
4
3
n
則
1
3
m
2
1
n
2
3
4
（3）E（-
3
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：335引用：7難度：0.5
相似題
-
1．已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為
、F1（-22，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．F2（22，0）
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程．發(fā)布：2024/12/29 11:30:2組卷：444引用：6難度：0.8 -
2．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C的離心率為
，面積為8π，則橢圓C的方程為（ ?。?/h2>32發(fā)布：2024/12/29 12:0:2組卷：229引用：7難度：0.5 -
3．已知橢圓
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6，則該橢圓的方程為（ ?。?/h2>x2a2+y2b2發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：12引用：2難度：0.7