已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），離心率e=22．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P、Q為橢圓上位于第一象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足PF⊥QF，C為PQ的中點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．
（i）求證：A為BC的中點(diǎn)；
（ii）若S△ABOS△BCF=35（S為三角形的面積），求直線PQ的方程．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
2
S
△
ABO
S
△
BCF
3
5
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【答案】（Ⅰ）=1．
（Ⅱ）（i）證明：設(shè)點(diǎn)P、Q為橢圓上位于第一象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足PF⊥QF，
C為PQ的中點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．
設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，（k≠0），
P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立
，
整理，得：（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，
由韋達(dá)定理得，x1x2=，
∴C（），
線段PQ的垂直平分線AB的方程為y-=-（x+），
令y=0，得A（-，0），令x=0，得B（0，），
∵，yA=，
∴A為BC的中點(diǎn)．
（ii）y=-x+．
x
2
2
+
y
2
（Ⅱ）（i）證明：設(shè)點(diǎn)P、Q為橢圓上位于第一象限的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足PF⊥QF，
C為PQ的中點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．
設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，（k≠0），
P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立
x 2 2 + y 2 = 1 |
y = kx + m |
整理，得：（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，
由韋達(dá)定理得
x
1
+
x
2
=
-
4
km
2
k
2
+
1
2
（
m
2
-
1
）
2
k
2
+
1
∴C（
-
2
km
2
k
2
+
1
，
m
2
k
2
+
1
線段PQ的垂直平分線AB的方程為y-
m
2
k
2
+
1
1
k
2
km
2
k
2
+
1
令y=0，得A（-
km
2
k
2
+
1
-
m
2
k
2
+
1
∵
x
A
=
x
B
+
x
C
2
y
B
+
y
C
2
∴A為BC的中點(diǎn)．
（ii）y=-
2
3
3
3
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：483引用：4難度：0.4
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-
1．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4510引用：26難度：0.3 -
2．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：370引用：4難度：0.5 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ?。?/h2>x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6