已知拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且AF=λFB（λ＞0）．過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M．
（Ⅰ）證明FM?AB為定值；
（Ⅱ）設(shè)△ABM的面積為S，寫出S=f（λ）的表達(dá)式，并求S的最小值．
AF
=
λ
FB
（
λ
＞
0
）
FM
?
AB
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．
【答案】（Ⅰ）：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦點(diǎn)F（0，1），準(zhǔn)線方程為y=-1，
顯然AB斜率存在且過(guò)F（0，1）
設(shè)其直線方程為y=kx+1，聯(lián)立4y=x2消去y得：x2-4kx-4=0，
判別式Δ=16（k2+1）＞0．
x1+x2=4k，x1x2=-4
于是曲線4y=x2上任意一點(diǎn)斜率為y′=，則易得切線AM，BM方程分別為y=（）x1（x-x1）+y1，y=（）x2（x-x2）+y2，其中4y1=，4y2=，聯(lián)立方程易解得交點(diǎn)M坐標(biāo)，xo==2k，yo==-1，即M（，-1）
從而，=（，-2），（x2-x1，y2-y1）
?=（x1+x2）（x2-x1）-2（y2-y1）=（-）-2[（-）]=0，（定值）命題得證．
這就說(shuō)明AB⊥FM．
（Ⅱ）S取得最小值4．
顯然AB斜率存在且過(guò)F（0，1）
設(shè)其直線方程為y=kx+1，聯(lián)立4y=x2消去y得：x2-4kx-4=0，
判別式Δ=16（k2+1）＞0．
x1+x2=4k，x1x2=-4
于是曲線4y=x2上任意一點(diǎn)斜率為y′=
x
2
1
2
1
2
x
2
1
x
2
2
x
1
+
x
2
2
x
1
x
2
4
x
1
+
x
2
2
從而，
FM
x
1
+
x
2
2
AB
FM
AB
1
2
1
2
x
2
2
x
2
1
1
4
x
2
2
x
2
1
這就說(shuō)明AB⊥FM．
（Ⅱ）S取得最小值4．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：3707引用：22難度：0.5
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1．傾斜角為
的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為．π4發(fā)布：2024/12/29 9:0:1組卷：217引用：4難度：0.6 -
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