我們定義：若一條線段將三角形分割成2個等腰三角形，則這條線段是這個三角形的“黃金線”．若兩條線段將一個三角形分割成3個等腰三角形，則這兩條線段是這個三角形的“鉆石線”．例如：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，過點C作∠ACD=30°，△ACD和△BCD都是等腰三角形，則線段CD是△ABC的“黃金線”．延長CB至點E，使AB=BE，連接AE，兩條線段AB、CD將△ACE分割成3個等腰三角形，則這兩條線段AB、CD是△ACE的“鉆石線”．
（1）如圖2，已知銳角△ABC中，∠BAC=25°，∠ABC=75°，若存在線段BD是△ABC的“黃金線”，則其中鈍角等腰三角形的頂角是 130130°；
（2）如圖3，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點O是AB的中點，過點C作∠BCD=40°，交AB的延長線于點D，CD邊上的一點E恰好在OD的垂直平分線上，求證：線段CO、OE是△ACD的“鉆石線”；
（3）若一個等腰三角形有“黃金線”，則這個等腰三角形的底角度數是 72或36或45°或540772或36或45°或5407°．
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【考點】三角形綜合題．
【答案】130；72或36或45°或
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【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/20 19:0:2組卷：456難度：0.1
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1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A出發(fā)沿線段AB以每秒3個單位長的速度運動至點B，過點P作PQ⊥AB交射線AC于點Q，設點P的運動時間為t秒（t＞0）．
（1）線段AQ的長為 ，線段PQ的長為 .（用含t的代數式表示）
（2）當△APQ與△ABC的周長的比為1：4時，求t的值．
（3）設△APQ與△ABC重疊部分圖形的面積為S，求S與t之間的函數關系式．發(fā)布：2025/6/25 4:0:1組卷：19難度：0.3 -
2．已知等腰直角△ABC的直角邊AB=BC=10cm,點P，Q分別從A．C兩點同時出發(fā)，均以1cm/s的相同速度做直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設P點運動時間為t,△PCQ的面積為S．
（1）求出S關于t的函數關系式．
（2）當點P在線段AB上時，點P運動幾秒時，S△PCQ=S△ABC？14
（3）作PE⊥AC于點E，當點P．Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論．發(fā)布：2025/6/23 23:0:10組卷：243難度：0.1 -
3．如圖，在△ABC中，BC=5，AD⊥BC，BE⊥AC，AD，BE相交于點O，BD：CD=2：3，且AE=BE．
（1）求線段AO的長；
（2）動點P從點O出發(fā)，沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向終點A運動，動點Q從點B出發(fā)沿射線BC以每秒4個單位長度的速度運動．P，Q兩點同時出發(fā)，當點P到達A點時，P，Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t秒，△AOQ的面積為S，請用含t的式子表示S，并直接寫出相應的t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，點F是直線AC上的一點，且CF=BO，是否存在t值，使以點B，O，P為頂點的三角形與以點F，C，Q為頂點的三角形全等？若存在，請直接寫出符合條件的t值；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/6/25 5:0:1組卷：191難度：0.4