綜合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：活動(dòng)課上，同學(xué)們以三角形為背景探究圖形變化中的數(shù)學(xué)問(wèn)題．如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°．將△ABC從圖1的位置開(kāi)始繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C（點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，B'），旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°）．
操作思考：（1）如圖2，“明辨”小組畫(huà)出了A'B'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)的圖形．求此時(shí)旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；
（2）如圖3，“善思”小組畫(huà)出了點(diǎn)A'落在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)的圖形，此時(shí)點(diǎn)B'也恰好在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上．過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線(xiàn)交AA′于點(diǎn)P，連接BB'．猜想線(xiàn)段AP與BB'的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
拓展探究：（3）如圖4，“博學(xué)”小組在圖2的基礎(chǔ)上，將△BCB′沿射線(xiàn)A'C的方向平移，點(diǎn)B，C，B′的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)．若AB=4，當(dāng)以A，B'，D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出平移的距離．
?

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．

【答案】（1）α=60°；
（2）猜想AP=BB'，理由見(jiàn)解析過(guò)程；
（3）當(dāng)以A，B'，D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，平移的距離為

或

．

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。

發(fā)布：2024/6/22 8:0:10組卷：595引用：3難度：0.1

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2．在綜合與實(shí)踐課上，劉老師展示了一個(gè)情境，讓同學(xué)們進(jìn)行探究：情境呈現(xiàn)：如圖1，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接BP，點(diǎn)D為BP的中點(diǎn)，連接CD，DQ．

分別過(guò)點(diǎn)Q，C作QM⊥AB，CN⊥AB，垂足分別為M，N．
∵△ABC和△AQP都是等腰直角三角形，QM⊥AP，CN⊥AB，
∴
QM
=
AM
=
PM
=
1
2
AP
，
CN
=
BN
=
AN
=
1
2
AB
，∠QMP=∠CND=90°．
∵點(diǎn)D是BP的中點(diǎn)，
∴
BD
=
DP
=
1
2
BP
．
∴
DM
=
DP
+
PM
=
1
2
BP
+
1
2
AP
=
1
2
AB
．
∴DM=CN=AN．
∴AM=DN=QM．
∴△QMD≌△DNC．
∴DQ=DC．

特殊分析：（1）將△APQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)P落在AB上時(shí)，如圖2，探究CD與DQ的數(shù)量關(guān)系；小明同學(xué)的分析如上：填空：①小明判斷△QMD≌△DNC的依據(jù)是
（填序號(hào)）；
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
E．HL
②請(qǐng)判斷∠CDQ的度數(shù)為
；
一般研討：（2）若將△APQ繞點(diǎn)A在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖3，CD與DQ的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)證明；
拓展延伸：（3）若
AP
=
4
3
，
BC
=
6
2
，在△AQP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)∠BAP=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段DQ的長(zhǎng)．

發(fā)布：2025/5/22 11:30:2組卷：672引用：4難度：0.2

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