已知a1，a2，…，a2022的值都是1或-1，設(shè)S是這2002個數(shù)的兩兩乘積之和．
（1）求S的最大值和最小值，并指出能達(dá)到最大值、最小值的條件；
（2）求S的最小正值，并指出能達(dá)到最小正值的條件．
（參考公式：（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2（ab+ac+ad+bc+bd+cd）．）
【答案】（1）當(dāng)a1=a2=…=a2002=1或-1時，S取最大值2003001，
當(dāng)a1，a2，a2002中恰有1001個1，1001個-1時，S取最小值-1001；
（2）a1，a2，a2002中恰有1024個1，978個-1或恰有1024個-1，978個1時，S取最小值57．
當(dāng)a1，a2，a2002中恰有1001個1，1001個-1時，S取最小值-1001；
（2）a1，a2，a2002中恰有1024個1，978個-1或恰有1024個-1，978個1時，S取最小值57．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/28 1:0:8組卷：81引用：1難度：0.5
相似題
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1．對于一個三位自然數(shù)n,若將n的任意兩個數(shù)位的數(shù)對調(diào)后得到一個新三位數(shù)記為n'=100×a+10×b+c,其中a,b,c都是不小于1且不大于9的自然數(shù)，在所有的n'中，我們規(guī)定當(dāng)|a-b-c|最小時的三位自然數(shù)n'是“n的好數(shù)”，并記S（n）=a-bc.例如由234得到的243，324，432中，因為|2-4-3|=5，|3-2-4|=3，|4-3-2|=1，1＜3＜5，所以432是“234的好數(shù)”，記S（234）=4-2×3=-2，則n'=432或423．
（1）求S（156）；
（2）設(shè)三位自然數(shù)n的百位和十位的數(shù)分別是x,y,個位數(shù)是6，且3x+y=17，若n'是“n的好數(shù)”，當(dāng)S（n）取最大值時，求n'．發(fā)布：2025/6/8 19:30:1組卷：156引用：2難度：0.7 -
2．如果一個四位數(shù)M滿足各個數(shù)位數(shù)字都不為0，且千位數(shù)字與百位數(shù)字之和為9，將M的千位數(shù)字與百位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為x,十位數(shù)字與個位數(shù)字組成的兩位數(shù)記為y,令F（M）=
，若F（M）為整數(shù)，則稱數(shù)M是“久久為功數(shù)”．x+2y9
例如：M=2754，∵2+7=9，x=27，y=54，F(xiàn)（M）==15為整數(shù)，∴M=2754是“久久為功數(shù)”；又如：M=6339，∵6+3=9，x=63，y=39，F(xiàn)（M）=27+2×549=63+2×399不為整數(shù)，∴M=6339不是“久久為功數(shù)”．473
（1）判斷1827，4532是否是“久久為功數(shù)”，并說明理由；
（2）把一個“久久為功數(shù)”M的千位數(shù)字記為a,十位數(shù)字記為b,個位數(shù)字記為c,令G（M）=，當(dāng)G（M）為整數(shù)時，求出所有滿足條件的M．2c-3a2b+3a發(fā)布：2025/6/8 21:0:2組卷：111引用：1難度：0.5 -
3．若把一個多位正整數(shù)的個位數(shù)字截去，再用余下的數(shù)加上截去的個位數(shù)字的4倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除．例如，判斷19669是否能被13整除的過程如下：1966+9×4=2002，200+2×4=208，20+8×4=52，52是13的倍數(shù)，所以19669能被13整除．能被13整除的數(shù)叫“十三數(shù)”．
（1）請用上述方法判斷2821和6736是否能被13整除，并說明理由；
（2）一個三位數(shù)是一個“十三數(shù)”，其中x,y,z均為非零整數(shù)，x＜y＜z,1≤x,y,z≤9，若M的十位數(shù)字是百位數(shù)字與個位數(shù)字的平均數(shù)，則稱M為“平衡數(shù)”，并記M=xyz，求F（M）的值．F（M）=|x-y|z+1發(fā)布：2025/6/8 20:30:2組卷：120引用：2難度：0.7