已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，a≠0）的頂點(diǎn)D（1，4），拋物線與x交于點(diǎn)A（-1，0）和B，與y軸交于點(diǎn)C．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有點(diǎn)G（2，0）和點(diǎn)H（0，174）．
（Ⅰ）求拋物線的解析式及點(diǎn)B坐標(biāo)：
（Ⅱ）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)E，使HE+AE的值最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若F為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)定點(diǎn)，
①過(guò)點(diǎn)H作y軸的垂線l,若對(duì)于拋物線上任意一點(diǎn)P（m,n）都滿足P到直線l的距離與它到定點(diǎn)F的距離相等，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②在①的條件下，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使FP+GP最小，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及FP+GP的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（Ⅰ）拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；
（Ⅱ）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，）；
（Ⅲ）①點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，）；
②存在點(diǎn)P（2，3）使FP+GP最小，最小值為．
（Ⅱ）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，
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（Ⅲ）①點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，
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②存在點(diǎn)P（2，3）使FP+GP最小，最小值為
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【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/10/8 21:0:1組卷：903引用：2難度：0.3
相似題
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1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，且OC=2OA，拋物線的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E．直線y=mx+n經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線及直線BC的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)F是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)FA+FC的值最小時(shí)，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)及FA+FC的最小值．
發(fā)布：2025/6/20 9:30:2組卷：197引用：4難度：0.5 -
2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2-2ax+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且AB=4，OB=OC．
（1）求拋物線解析式；
（2）在直線x=2上是否存在點(diǎn)M，使∠BMA=2∠MAB？若存在，求M點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P為y軸上C點(diǎn)下方一動(dòng)點(diǎn)，PM、PN分別與拋物線交于唯一公共點(diǎn)M、N，連接MN交y軸于Q，試探究PQ與CQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/6/20 10:0:1組卷：244引用：2難度：0.2 -
3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Rt△AOB的直角邊OB，OA分別在x軸上和y軸上，其中OA=2，OB=4，現(xiàn)將Rt△AOB繞著直角頂點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△COD，已知一拋物線經(jīng)過(guò)C、D、B三點(diǎn)．
（1）該拋物線的解析式為；
（2）設(shè)點(diǎn)E是拋物線上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，并交直線AB于N，過(guò)點(diǎn)E再作EM⊥AB于點(diǎn)M，求△EMN周長(zhǎng)的最大值；
（3）當(dāng)△EMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，在直線EF上是否存在點(diǎn)Q，使得△QCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/6/20 10:0:1組卷：283引用：3難度：0.3