【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長(zhǎng)的比叫做頂角的張率（scop）．如圖1，在△XYZ中，XY=XZ，頂角X的張率記作scop∠X=底邊腰=YZXY．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的張率也是相互唯一確定的，所以，類比三角函數(shù)，我們可按上述方式定義∠α（0°＜∠α＜180°） 的張率，例如，scop60°=1，scop90°=2，請(qǐng)根據(jù)材料，完成以下問(wèn)題：
如圖2，P是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)C，D分別是線段AP，BP的中點(diǎn)，以AC，CD，DB為邊分別在AB的同側(cè)作等邊三角形△ACE，△CDF，△DBG，連接PE和PG．
（1）【理解應(yīng)用】
①若等邊三角形△ACE，△CDF，△DBG的邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則a,b,c三者之間的關(guān)系為 b=a+cb=a+c；
②scop∠EPG=33；
（2）【猜想證明】如圖3，連接EF，F(xiàn)G，猜想scop∠EFG的值是多少，并說(shuō)明理由；
（3）【拓展延伸】如圖4，連接EF，EG，若AB=12，EF=27，則△EPG的周長(zhǎng)是多少？此時(shí)AP的長(zhǎng)為多少？（可直接寫出上述兩個(gè)結(jié)果）
底邊
腰
YZ
XY
2
3
3
EF
=
2
7
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】b=a+c；
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：976引用：2難度：0.1
相似題
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1．已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D，我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．
（1）[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②若∠COD=60°，求證：AC+BD=OC．3發(fā)布：2025/5/23 17:0:1組卷：258引用：3難度：0.1 -
2．【問(wèn)題初探】
（1）如圖1，等腰Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為AB邊一點(diǎn)，以BD為腰向下作等腰Rt△BDE，∠DBE=90°．連接CD，CE，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接AF．猜想并證明線段AF與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
【深入探究】
（2）在（1）的條件下，如圖2，將等腰Rt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【拓展遷移】
（3）如圖3，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．在Rt△BDE中，∠DBE=90°，．連接CD，CE，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接AF．Rt△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠BDE=12∠BAC
①線段AF與CE的數(shù)量關(guān)系為：；
②若，BC=413，當(dāng)點(diǎn)F在等腰△ABC內(nèi)部且∠BCF的度數(shù)最大時(shí)，線段AF的長(zhǎng)度為 ．BD=23發(fā)布：2025/5/23 17:0:1組卷：944引用：4難度：0.1 -
3．已知CD是△ABC中∠C的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，AD=m,BD=n.△ADE與△BDF的面積之和為S．
（1）當(dāng)∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC時(shí)，如圖1，若∠B=45°，m=3，則n=，S=；2
（2）如圖2，當(dāng)∠ACB=∠EDF=90°時(shí)，
①求證：DE=DF；
②直接寫出S與m,n的數(shù)量關(guān)系；
（3）如圖3，當(dāng)∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4時(shí)，請(qǐng)直接寫出S的大小．
發(fā)布：2025/5/23 16:0:1組卷：232引用：1難度：0.1