【問題提出】
某數(shù)學(xué)興趣小組展示項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的研究主題：已知四邊形ABCD，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB，交BD于點(diǎn)F、將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90° ）得到△E′BF′，探究DF′與AE′的數(shù)量關(guān)系．
【問題探究】
探究一：若四邊形ABCD為正方形
（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB 交BD于點(diǎn)F．則DFAE的值為 22；
（2）如圖2．將圖1中的△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°） 得到 ΔE'B'F'，連接AE'、DF'，試求DF′AE′的值；
探究二：若四邊形ABCD為矩形
如圖3，矩形ABCD中，點(diǎn)E為AB上的一點(diǎn)，EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，BC=2AB；
（3）將圖3中的△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90° ）得到△E′BF′，連接 AE'、DF．請?jiān)趫D4中補(bǔ)全圖形，并探究此時(shí)DF′AE′的值；
【聯(lián)系拓廣】
（4）如圖3，矩形ABCD中，若BC=mAB，其它條件都不變，將△EBF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°） 得到△E′BF′，連接AE'、DF′．請直接寫出DF′AE′的值．?
DF
AE
2
2
DF
′
AE
′
BC
=
2
AB
DF
′
AE
′
DF
′
AE
′
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】
2
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/30 8:0:9組卷：232引用：1難度：0.3
相似題
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1．小波在復(fù)習(xí)時(shí)，遇到一個(gè)課本上的問題，溫故后進(jìn)行了操作、推理與拓展．
（1）溫故：如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，且．若BC=6，AD=4，則正方形PQMN的邊長等于 ；PNBC+MNAD=1
（2）操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中的方法進(jìn)行操作：如圖2，任意畫△ABC，在AB上任取一點(diǎn)P'，畫正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC邊上，N'在△ABC內(nèi)，連結(jié)BN'并延長交AC于點(diǎn)N，畫NM⊥BC于點(diǎn)M，NP⊥NM交AB于點(diǎn)P，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，得到四邊形PQMN；
（3）推理：如圖3，若點(diǎn)E是BN的中點(diǎn)，求證：EP=EQ；
（4）拓展：在（2）的條件下，射線BN上截取NE=NM，連結(jié)EQ，EM（如圖4）．當(dāng)∠NBM=30°時(shí)，猜想∠QEM的度數(shù)，并嘗試證明．
請幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題．發(fā)布：2025/6/7 9:0:2組卷：103引用：3難度：0.3 -
2．圖①、圖②、圖③都是5×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長為1，點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．請按要求解答問題．（畫圖只能用無刻度的直尺，保留作圖痕跡）
要求：（1）如圖①，=；BECE
（2）如圖②，在BC上找一點(diǎn)F使BF=2；
（3）如圖③，在AC上找一點(diǎn)M，連結(jié)BM、DM，使△ABM∽△CDM．
發(fā)布：2025/6/7 8:30:2組卷：210引用：4難度：0.5 -
3．感知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠APD=90°時(shí)，△ABP與△PCD是否相似？（填“是”或“否”）．
探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí)，求證：△ABP∽△PCD．
拓展：如圖③，在△ABC中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn) D、E分別在邊AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，
BC=，CE=9，則DE的長為 ．122
發(fā)布：2025/6/7 5:0:1組卷：395引用：5難度：0.4