已知橢圓Γ：

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．經(jīng)過點(diǎn)F₁且傾斜角為θ（0＜θ＜

π

2

）的直線l與橢圓Γ交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方），△ABF₂的周長為8．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面AF₁F₂）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面BF₁F₂）互相垂直．
①若θ=

π

3

，求異面直線AF₁和BF₂所成角的余弦值；
②是否存在θ（0＜θ＜

π

2

），使得折疊后△ABF₂的周長為

15

2

？若存在，求tanθ的值；若不存在，說明理由．