一次數學綜合實踐活動課上．小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關于三角形角平分線的一個結論．如圖1，PB是△PAC的角平分線，可以證明PAPC=ABBC，小慧的證明思路是：如圖2．過點C作CE∥AP．交PB的延長線于點E．構造相似三角來證明PAPC=ABBC
【基礎鞏固】
（1）參照小慧提供時思路，利用圖（2）請證明上述結論；
（2）A、B、C、在同一直線l上從左到右順次的點，點P是直線外一動點，PB平分∠APC；
【嘗試應用】①若AB=2，BC=1，延長AB至D，當CD=BC時，PD的長為定值，請求出這個值；
【拓展提高】②拓展：若AB-m,BC=n,（m≠n），P點在1外運動時，直線l上存在一點D，使PD為定值，直接寫出PD的長為 mnm-nmnm-n（用含m、n的式子表示）．
PA
PC
=
AB
BC
PA
PC
=
AB
BC
mn
m
-
n
mn
m
-
n
【考點】相似形綜合題．
【答案】
mn
m
-
n
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/22 8:0:10組卷：161引用：1難度：0.1
相似題
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1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，點Q在AB上，且AQ=2，過Q作QR⊥AB，垂足為Q，QR交折線AC-CB于R（如圖1），當點Q以每秒2個單位向終點B移動時，點P同時從A出發(fā)，以每秒6個單位的速度沿AB-BC-CA移動，設移動時間為t秒（如圖2）．
（1）求△BCQ的面積S與t的函數關系式．
（2）t為何值時，QP∥AC？
（3）t為何值時，直線QR經過點P？
（4）當點P在AB上運動時，以PQ為邊在AB上方所作的正方形PQMN在Rt△ABC內部，求此時t的取值范圍．發(fā)布：2025/6/10 22:30:2組卷：1843難度：0.1 -
2．如圖，△ABC中，AB=5，BC=11，cosB=
，點P是BC邊上的一個動點，連接AP，取AP的中點M，將線段MP繞點P順時針旋轉90°得到線段PN，連接AN，NC．35
（1）當點N恰好落在BC邊上時，求NC的長；
（2）若點N在△ABC內部（不含邊界），設BP=x,CN=y,求y關于x的函數關系式，并求出函數的定義域；
（3）若△PNC是等腰三角形，求BP的長．
發(fā)布：2025/6/12 2:0:4組卷：516引用：3難度：0.1 -
3．定義：兩個相似等腰三角形，如果它們的底角有一個公共的頂點，那么把這兩個三角形稱為“關聯(lián)等腰三角形”．如圖，在△ABC與△AED中，BA=BC，EA=ED，且△ABC～AED，所以稱△ABC與△AED為“關聯(lián)等腰三角形”，設它們的頂角為α，連接EB，DC，則稱
為“關聯(lián)比”．DCEB
下面是小穎探究“關聯(lián)比”與α之間的關系的思維過程，請閱讀后，解答下列問題：
（1）當△ABC與△AED為“關聯(lián)等腰三角形”，且α=90°時，
①在圖2中，若點E落在AB上，則“關聯(lián)比”=；DCEB
②在圖3中，探究△ABE與△ACD的關系，并求出“關聯(lián)比”的值．DCEB
（2）如圖4，當△ABC與△AED為“關聯(lián)等腰三角形”，且α=120°，
①“關聯(lián)比”=．DCEB
②AB=2時，將△ABC繞點A順時針旋轉60°，線段BC掃過的面積是 ．
[遷移運用]
（3）如圖5，△ABC與△AED為“關聯(lián)等腰三角形”．若∠ABC=∠AED=90°，AC=4，點P為AC邊上一點，且PA=1，點E為PB上一動點，當點E自點B運動至點P時，點D所經過的路徑長為 ．發(fā)布：2025/6/11 6:0:1組卷：550引用：2難度：0.1