某校研究性學(xué)習(xí)小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要結(jié)論．一是發(fā)現(xiàn)拋物線(xiàn)y=ax2+2x+3（a≠0），當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，它的頂點(diǎn)都在某條直線(xiàn)上；二是發(fā)現(xiàn)當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，若把拋物線(xiàn)y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少1a，縱坐標(biāo)增加1a，得到A點(diǎn)的坐標(biāo)；若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加1a，縱坐標(biāo)增加1a，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)，則A、B兩點(diǎn)一定仍在拋物線(xiàn)y=ax2+2x+3上．
（1）請(qǐng)你協(xié)助探求出當(dāng)實(shí)數(shù)a變化時(shí)，拋物線(xiàn)y=ax2+2x+3的頂點(diǎn)所在直線(xiàn)的解析式；
（2）問(wèn)題（1）中的直線(xiàn)上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，你能找出它來(lái)嗎？并說(shuō)明理由；
（3）在他們第二個(gè)發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運(yùn)用“一般-一特殊-一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么？你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將你的猜想表述出來(lái)嗎？你的猜想能成立嗎？若能成立請(qǐng)說(shuō)明理由．
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【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：193引用：4難度：0.1
相似題
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1．如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于A（-1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2．C（0，103）
（1）求此拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)Q為對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若以BQ為斜邊的等腰直角三角形PBQ的頂點(diǎn)P落在對(duì)稱(chēng)軸x=2上，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．發(fā)布：2025/5/31 13:30:2組卷：289引用：2難度：0.4 -
2．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=-x2-2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A，C，D的坐標(biāo)；
（2）如圖（1），在x軸上找一點(diǎn)E，使得△CDE的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△ACP為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/5/31 14:30:1組卷：715引用：6難度：0.2 -
3．定義：與坐標(biāo)軸不重合的直線(xiàn)l交x,y軸于A、B兩點(diǎn)（A、B不重合），若拋物線(xiàn)L過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B，則稱(chēng)此拋物線(xiàn)L為直線(xiàn)l的“和諧線(xiàn)”，如圖L1，L2均為直線(xiàn)l的“和諧線(xiàn)”．
（1）已知直線(xiàn)的解析式為y=-x+4，則下列拋物線(xiàn)是直線(xiàn)l的“和諧線(xiàn)”的有．①y=x2-5x+4
②y=2x2-7x-4
③y=-12x2+x+4
（2）已知直線(xiàn)y=kx+b的“和諧線(xiàn)”為，且直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)y=-14x2+x-1交于點(diǎn)M，N，求線(xiàn)段MN的長(zhǎng)．y=4x
（3）已知直線(xiàn)y=-cx+c（c≠0）的“和諧線(xiàn)”為y=ax2+bx+c（a≠0，且a＞b＞c），求該“和諧線(xiàn)”在x軸上所截線(xiàn)段長(zhǎng)d的取值范圍．發(fā)布：2025/5/31 13:0:2組卷：765引用：2難度：0.6