已知左焦點為F（-1，0）的橢圓過點E（1，233）．過點P（1，1）分別作斜率為k1，k2的橢圓的動弦AB，CD，設(shè)M，N分別為線段AB，CD的中點．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P為線段AB的中點，求k1；
（3）若k1+k2=1，求證直線MN恒過定點，并求出定點坐標(biāo)．
2
3
3
【答案】（1）；
（2）-；
（3）（0，-）．
證明：由題意，k1≠k2，
設(shè)M（xM，yM），直線AB的方程為y-1=k1（x-1），即y=k1x+k2，
代入橢圓方程并化簡得（）x2+6k1k2x+=0
∴，
同理，，
當(dāng)k1k2≠0時，直線MN的斜率k==
直線MN的方程為y-=（x-）
即
此時直線過定點（0，-）
當(dāng)k1k2=0時，直線MN即為y軸，此時亦過點（0，-）
綜上，直線MN恒過定點，且坐標(biāo)為（0，-）．
x
2
3
+
y
2
2
=
1
（2）-
2
3
（3）（0，-
2
3
證明：由題意，k1≠k2，
設(shè)M（xM，yM），直線AB的方程為y-1=k1（x-1），即y=k1x+k2，
代入橢圓方程并化簡得（
2
+
3
k
1
2
3
k
2
2
-
6
∴
x
M
=
-
3
k
1
k
2
2
+
3
k
1
2
y
M
=
2
k
2
2
+
3
k
1
2
同理，
x
N
=
-
3
k
1
k
2
2
+
3
k
2
2
y
N
=
2
k
1
2
+
3
k
2
2
當(dāng)k1k2≠0時，直線MN的斜率k=
y
M
-
y
N
x
M
-
x
N
10
-
6
k
1
k
2
-
9
k
1
k
2
直線MN的方程為y-
2
k
2
2
+
3
k
1
2
10
-
6
k
1
k
2
-
9
k
1
k
2
-
3
k
1
k
2
2
+
3
k
1
2
即
y
=
10
-
6
k
1
k
2
-
9
k
1
k
2
x
-
2
3
此時直線過定點（0，-
2
3
當(dāng)k1k2=0時，直線MN即為y軸，此時亦過點（0，-
2
3
綜上，直線MN恒過定點，且坐標(biāo)為（0，-
2
3
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：474引用：8難度：0.5
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．5
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發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7