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試題詳情
關于橢圓的切線有下列結論：若P（x1，y1）是橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的一點，則過點P的橢圓的切線方程為x1xa2+y1yb2=1．已知橢圓C：x24+y23=1，過橢圓C外一點M（x0，y0）作橢圓的兩條切線MA，MB（A，B為切點）．
（Ⅰ）利用上述結論，求過橢圓C上的點P（1，n）（n＞0）的切線方程；
（Ⅱ）若M是直線x=4上的任一點，過M作橢圓C的兩條切線MA，MB（A，B為切點），設橢圓的右焦點為F，求證：MF⊥AB．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
x
1
x
a
2
+
y
1
y
b
2
=
1
x
2
4
+
y
2
3
=
1
【考點】橢圓的切線方程及性質．
【答案】（Ⅰ）x+2y-4=0；
（Ⅱ）證明：設M（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2），
則過A，B兩點的橢圓C的切線MA，MB的方程為：
，．
∵M（4，t）在兩切線上，∴，．
∴A，B兩點均在直線上，即直線AB的方程為x+．
當t≠0時，，
又F（1，0），∴，，
∴MF⊥AB；
若t=0，點M（4，0）在x軸上，A，B兩點關于x軸對稱，顯然MF⊥AB．
軸上，MF⊥AB．
（Ⅱ）證明：設M（4，t），A（x1，y1），B（x2，y2），
則過A，B兩點的橢圓C的切線MA，MB的方程為：
x
1
x
4
+
y
1
y
3
=
1
x
2
x
4
+
y
2
y
3
=
1
∵M（4，t）在兩切線上，∴
4
x
1
4
+
t
y
1
3
=
1
4
x
2
4
+
t
y
2
3
=
1
∴A，B兩點均在直線
4
x
4
+
ty
3
=
1
ty
3
=
1
當t≠0時，
k
AB
=
-
3
t
又F（1，0），∴
k
MF
=
t
-
0
4
-
1
=
t
3
k
AB
?
k
MF
=
-
3
t
?
t
3
=
-
1
∴MF⊥AB；
若t=0，點M（4，0）在x軸上，A，B兩點關于x軸對稱，顯然MF⊥AB．
軸上，MF⊥AB．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/11/7 8:0:2組卷：136難度：0.4
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