十字測天儀廣泛應用于歐洲中世紀晚期的航海領域，主要用于測量太陽等星體的方位，便于船員確定位置．如圖1所示，十字測天儀由桿AB和橫檔CD構成，并且E是CD的中點，橫檔與桿垂直并且可在桿上滑動．十字測天儀的使用方法如下：如圖2，手持十字測天儀，使得眼睛可以從A點觀察．滑動橫檔CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能觀察到太陽，此時視線恰好經(jīng)過點D，DE的影子恰好是AE．然后，通過測量AE的長度，可計算出視線和水平面的夾角∠CAD（稱為太陽高度角），最后通過查閱地圖來確定船員所在的位置．

（1）若在某次測量中，橫檔CD的長度為20，測得太陽高度角∠CAD=60°，求影子AE的長；
（2）若在另一次測量中，AE=40，橫檔CD的長度為20，求太陽高度角的正弦值；
（3）在桿AB上有兩點A₁，A₂滿足AA₁=

1

2

A

A

2

．當橫檔CD的中點E位于A_i時，記太陽高度角為a_i（i=1，2），其中α₁，α₂都是銳角．證明：α₁＜2α₂．