已知橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（-2，1），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為25，過點(diǎn)C（-1，0）且斜率為k的直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-12，求直線l的斜率；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使MA?MB+53k2+1是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
（
-
2
，
1
）
2
5
-
1
2
MA
?
MB
+
5
3
k
2
+
1
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）x2+3y2=5．
（2）±．
（3）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），
使是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，
由
-5=0
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=，
∵）
∴
=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）+
=（1+k2）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+m2+k2+
=（1+k2）
=是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)，設(shè)常數(shù)為t，
則=t
整理得（3m2+6m-1-3t）k2+m2-t=0對(duì)任意的k恒成立∴
，解得m=
即在x軸上存在點(diǎn)M（，0），
使是與k無(wú)關(guān)的常數(shù)．
（2）±
3
3
（3）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M（m，0），
使
MA
?
MB
+
5
3
k
2
+
1
由
x 2 + 3 y 2 = 5 |
y = k （ x + 1 ） |
得
：
（
3
k
2
+
1
）
x
2
+
6
k
2
x
+
3
k
2
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=
-
6
k
2
3
k
2
+
1
，
x
1
?
x
2
=
3
k
2
-
5
3
k
2
+
1
∵
MA
=
（
x
1
-
m
，
y
1
）
，
MB
=
（
x
2
-
m
，
y
2
∴
MA
?
MB
+
5
3
k
2
+
1
=
（
x
1
-
m
）
（
x
2
-
m
）
+
y
1
y
2
+
5
3
k
2
+
1
=（x1-m）（x2-m）+k2（x1+1）（x2+1）+
5
3
k
2
+
1
=（1+k2）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+m2+k2+
5
3
k
2
+
1
=（1+k2）
3
k
2
-
5
3
k
2
+
1
+
（
k
2
-
m
）
-
6
k
2
3
k
2
+
1
+
m
2
+
k
2
+
5
3
k
2
+
1
=
-
k
2
+
6
m
k
2
+
3
m
2
k
2
+
m
2
3
k
2
+
1
則
-
k
2
+
6
m
k
2
+
3
m
2
k
2
+
m
2
3
k
2
+
1
整理得（3m2+6m-1-3t）k2+m2-t=0對(duì)任意的k恒成立∴
3 m 2 + 6 m - 1 - 3 t = 0 |
m 2 - t = 0 |
1
6
即在x軸上存在點(diǎn)M（
1
6
使
MA
?
MB
+
5
3
k
2
+
1
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：38引用：2難度：0.1
相似題
-
1．點(diǎn)P在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點(diǎn)，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點(diǎn)Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點(diǎn)任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：101引用：1難度：0.9 -
3．若過點(diǎn)（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7