【問題情境】
將一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按圖1所示的方式擺放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，DF⊥AC于點(diǎn)M，DE⊥BC于點(diǎn)N，試判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【探究展示】
小宇同學(xué)展示出如下正確的解法
解：OM=ON，
證明如下：
連接CO，則CO是AB邊上的中線
∵CA=CB，
∴CO是∠ACB的角平分線．（依據(jù)1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，
∴OM=ON（依據(jù)2）
【反思交流】
（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指
依據(jù)1：等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）
依據(jù)2：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等
（2）你有與小宇不同的思考方法嗎？請寫出你的證明過程．
【拓展延伸】
（3）將圖1中的Rt△DEF沿著射線BA的方向平移至如圖2所示的位置，使點(diǎn)D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點(diǎn)M，BC的延長線與DE垂直相交于點(diǎn)N，連接OM，ON，試判斷線段OM，ON的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并寫出證明過程．
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．
【答案】等腰三角形三線合一（或等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合）；角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：174引用：2難度：0.3
相似題
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1．已知正方形ABCD和△ABE（點(diǎn)C，D，E在直線AB同側(cè)），把△ABE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADF，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△ADF≌△ABE，延長BE交DF于點(diǎn)G．
（1）如圖1，若點(diǎn)E在正方形ABCD邊AD上（∠BAE=90°），則BE與DF的位置關(guān)系是 ．
（2）如圖2，若點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部（∠BAE＜90°，∠BEA＜90°）．
①（1）的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由．
②若BG=6，DG=2，請直接寫出線段AG的長．
?發(fā)布：2024/11/4 8:0:2組卷：64引用：1難度：0.5 -
2．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．
【探究三角形中邊與角之間的不等關(guān)系】
學(xué)習(xí)了等腰三角形，我們知道在一個(gè)三角形中，等邊所對的角相等；反過來，等角所對的邊也相等，那么，不相等的邊所對的角之間的大小關(guān)系怎樣呢？大邊所對的角也大嗎？下面是奮進(jìn)小組的證明過程．
如圖1，在△ABC中，已知AB＞AC．求證∠C＞∠B．
證明：如圖2，將△ABC折疊，使邊AC落在AB上，點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)C'處，折痕AD交BC于點(diǎn)D．則∠AC'D=∠C．
∵∠AC'D=+∠BDC'（三角形外角的性質(zhì)）
∴∠AC'D＞∠B
∴∠C＞∠B（等量代換）
類似地，應(yīng)用這種方法可以證明“在一個(gè)三角形中，大角對大邊，小角對小邊”的問題．
任務(wù)一：將上述證明空白部分補(bǔ)充完整；
任務(wù)二：上述材料中不論是由邊的不等關(guān)系，推出角的不等關(guān)系，還是由角的不等關(guān)系推出邊的不等關(guān)系，都是轉(zhuǎn)化為較大量的一部分與較小量相等的問題，再用三角形外角的性質(zhì)或三邊關(guān)系進(jìn)而解決，這里主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是 ；（填正確選項(xiàng)的代碼：單選）
A．轉(zhuǎn)化思想
B．方程思想
C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想
任務(wù)三：根據(jù)上述材料得出的結(jié)論，判斷下列說法，正確的有 （將正確的代碼填在橫線處：多選）．
①在△ABC中，AB＞BC，則∠A＞∠B；
②在△ABC中，AB＞BC＞AC，∠C=89°，則△ABC是銳角三角形；
③Rt△ABC中，∠B=90°，則最長邊是AC；
④在△ABC中，∠A=55°，∠B=70°，則AB=BC．發(fā)布：2024/11/22 8:0:1組卷：183引用：2難度：0.4 -
3．（1）如圖1，等邊△ABC中，BC=6，點(diǎn)P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB、AC的對稱點(diǎn)分別為點(diǎn)M、N，連接MN．
①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，線段MN的長是；當(dāng)AP的長最小時(shí)，線段MN的長是；
②如圖2，連接PM、PN，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．當(dāng)PB為多少時(shí)，線段MN的長是2？21
（2）如圖3，在等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，BC=4，點(diǎn)P、Q、R分別為邊BC、AB、AC上（均不與端點(diǎn)重合）的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長的最小值并簡要說明理由．3
發(fā)布：2024/11/21 8:0:2組卷：296引用：1難度：0.1
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