已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-3，0）、F2（3，0），橢圓上的點(diǎn)P滿足∠PF1F2=90°，且△PF1F2的面積為S△PF1F2=32．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，過(guò)點(diǎn)Q（1，0）的動(dòng)直線l與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)，直線AN與直線x=4的交點(diǎn)為R，證明：點(diǎn)R總在直線BM上．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
3
S
△
P
F
1
F
2
3
2
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合．
【答案】（1）橢圓C的方程為；
（2）證明：由題意知A（-2，0）、B（2，0），
①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，、，
則AN的方程是：，
BM的方程是：，
直線AN與直線x=4的交點(diǎn)為，
∴點(diǎn)R在直線BM上．
②當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）
由
得（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0
∴，
，，
A，N，R共線，
∴
又，，
需證明B，M，R共線，
需證明2y1-y0（x1-2）=0，只需證明
若k=0，顯然成立，若k≠0，即證明（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=0
∵（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=-2x1x2+5（x1+x2）-8
=成立，
∴B，M，R共線，即點(diǎn)R總在直線BM上．
x
2
4
+
y
2
=
1
（2）證明：由題意知A（-2，0）、B（2，0），
①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，
M
（
1
，
3
2
）
N
（
1
，-
3
2
）
則AN的方程是：
y
=
-
3
6
（
x
+
2
）
BM的方程是：
y
=
-
3
2
（
x
-
2
）
直線AN與直線x=4的交點(diǎn)為
R
（
4
，-
3
）
∴點(diǎn)R在直線BM上．
②當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）
由
y = k （ x - 1 ） |
x 2 4 + y 2 = 1 |
∴
x
1
+
x
2
=
8
k
2
1
+
4
k
2
x
1
x
2
=
4
k
2
-
4
1
+
4
k
2
AR
=
（
6
，
y
0
）
AN
=
（
x
2
+
2
，
y
2
）
A，N，R共線，
∴
y
0
=
6
y
2
x
2
+
2
又
BR
=
（
2
，
y
0
）
BM
=
（
x
1
-
2
，
y
1
）
需證明B，M，R共線，
需證明2y1-y0（x1-2）=0，只需證明
2
k
（
x
1
-
1
）
-
6
k
（
x
2
-
1
）
x
2
+
2
（
x
1
-
2
）
=
0
若k=0，顯然成立，若k≠0，即證明（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=0
∵（x1-1）（x2+2）-3（x2-1）（x1-2）=-2x1x2+5（x1+x2）-8
=
-
2
（
4
k
2
-
4
）
1
+
4
k
2
+
5
×
8
k
2
1
+
4
k
2
-
8
=
0
∴B，M，R共線，即點(diǎn)R總在直線BM上．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：149引用：10難度：0.1
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-
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（1）求曲線C的方程；
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（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．E：x2a2-y2b2=1
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