已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸兩個端點為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知圓的方程是x2+y2=a2+b2，過圓上任一點P作橢圓C的兩條切線l1與l2，求證：l1⊥l2．
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
【考點】橢圓的幾何特征．
【答案】（1）；
（2）證明：設(shè)P（x0，y0），若過點P的切線斜率都存在，設(shè)其方程為y-y0=k（x-x0），
由
得，，
∵直線與橢圓相切，∴Δ=0，，
整理得，
∵橢圓C的兩條切線的斜率分別為k1，k2，由韋達(dá)定理，，
∵點P在圓O上，∴，即，
∴，
∴l(xiāng)1⊥l2，
特別的，若過點P的切線有一條斜率不存在，不妨設(shè)該直線為l1，
則l1的方程為x=±2，l2的方程為，∴l(xiāng)1⊥l2，
綜上，對任意滿足題設(shè)的點P，都有l(wèi)1⊥l2．
x
2
4
+
y
2
2
=
1
（2）證明：設(shè)P（x0，y0），若過點P的切線斜率都存在，設(shè)其方程為y-y0=k（x-x0），
由
y - y 0 = k （ x - x 0 ） |
x 2 + 2 y 2 = 4 |
（
1
+
2
k
2
）
x
2
+
4
k
（
y
0
-
k
x
0
）
x
+
2
（
k
x
0
-
y
0
）
2
-
4
=
0
∵直線與橢圓相切，∴Δ=0，
[
4
k
（
y
0
-
k
x
0
）
]
2
-
4
（
1
+
2
k
2
）
[
2
（
k
x
0
-
y
0
）
2
-
4
]
=
0
整理得
（
4
-
x
2
0
）
k
2
+
2
x
0
y
0
k
+
2
-
y
0
2
=
0
∵橢圓C的兩條切線的斜率分別為k1，k2，由韋達(dá)定理，
k
1
?
k
2
=
2
-
y
0
2
4
-
x
2
0
∵點P在圓O上，∴
x
2
0
+
y
0
2
=
6
y
0
2
=
6
-
x
2
0
∴
k
1
?
k
2
=
2
-
y
0
2
4
-
x
2
0
=
2
-
（
6
-
x
2
0
）
4
-
x
2
0
=
-
4
+
x
2
0
4
-
x
2
0
=
-
1
∴l(xiāng)1⊥l2，
特別的，若過點P的切線有一條斜率不存在，不妨設(shè)該直線為l1，
則l1的方程為x=±2，l2的方程為
y
=±
2
綜上，對任意滿足題設(shè)的點P，都有l(wèi)1⊥l2．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/8/14 4:0:1組卷：122引用：5難度：0.5
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