已知菱形ABCD的邊長為4．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC，CB于點E，F(xiàn)．
（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E，F(xiàn)分別是邊DC，CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC，BD的交點O即為等邊△AEF的外心；
（2）若點E，F(xiàn)始終分別在邊DC，CB上移動，等邊△AEF的外心為點P．
①猜想驗證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪條直線上，并加以證明；
②學以致用：如圖3，當△AEF的面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，求1DM+1DN的值．
1
DM
+
1
DN
【考點】圓的綜合題．
【答案】（1）證明見解析；（2）①外心P一定落在直線DB上，理由見解析；②．
1
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/5/16 8:0:9組卷：51引用：1難度：0.3
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1．如圖，AB是⊙O的直徑，E為⊙O上的一點，∠ABE的平分線交⊙O于點C，過點C的直線交BA的延長線于點P，交BE的延長線于點D．且∠PCA=∠CBD．
（1）求證：PC為⊙O的切線；
（2）若PC=2BO，PB=12，求⊙O的半徑及BE的長．2發(fā)布：2025/5/21 15:0:1組卷：1340引用：4難度：0.1 -
2．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC為直徑作⊙O，BD平分∠ABC交⊙O于D，BD交AC于點E，過點D作DF⊥DB，DF交BA的延長線于點F，過點F作FG∥BD交CA的延長線于點G．
（1）求證：△DAF≌△DCB；
（2）如果tan∠FAG=，求13的值；DEBE
（3）寫出AG與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．發(fā)布：2025/5/21 14:30:1組卷：235引用：1難度：0.1 -
3．如圖，△ABC中，∠BAC為直角，點P為AC邊上一動點（不與A，C重合），以PB為直徑作⊙O，⊙O與BC交于點D，過點D作DE⊥AD交AB的延長線于點E．AD與PB交于點F．
（1）求證：∠PBA=∠BDE；
（2）如果∠PBD=2∠PBA，求證：BD=BF；
（3）如果AB=6，AC=8，
①令AP=x,BD=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②若PB∥DE，求的值．PFFB發(fā)布：2025/5/21 16:30:2組卷：588引用：1難度：0.4
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