已知橢圓C：9x2+y2=m2（m＞0），直線l不過原點O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．
（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；
（2）若l過點（m3，m），延長線段OM與C交于點P，四邊形OAPB能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由．
m
3
【考點】直線與圓錐曲線的綜合；直線的斜率．
【答案】（1）設(shè)直線l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
將y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，
則判別式Δ=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，
則x1+x2=，則xM==，yM=kxM+b=，
于是直線OM的斜率kOM==，
即kOM?k=-9，
∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．
（2）能，4-或4+時．
將y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，
則判別式Δ=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，
則x1+x2=
-
2
kb
9
+
k
2
x
1
+
x
2
2
-
kb
9
+
k
2
9
b
9
+
k
2
于是直線OM的斜率kOM=
y
M
x
M
-
9
k
即kOM?k=-9，
∴直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值．
（2）能，4-
7
7
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：9269引用：34難度：0.1
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-
1．點P在以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線
（a＞0，b＞0）上，已知PF1⊥PF2，|PF1|=2|PF2|，O為坐標(biāo)原點．E：x2a2-y2b2=1
（Ⅰ）求雙曲線的離心率e；
（Ⅱ）過點P作直線分別與雙曲線漸近線相交于P1，P2兩點，且，OP1?OP2=-274，求雙曲線E的方程；2PP1+PP2=0
（Ⅲ）若過點Q（m,0）（m為非零常數(shù)）的直線l與（2）中雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且（λ為非零常數(shù)），問在x軸上是否存在定點G，使MQ=λQN？若存在，求出所有這種定點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．F1F2⊥（GM-λGN）發(fā)布：2024/12/29 10:0:1組卷：72引用：5難度：0.7 -
2．已知兩個定點坐標(biāo)分別是F1（-3，0），F(xiàn)2（3，0），曲線C上一點任意一點到兩定點的距離之差的絕對值等于2
．5
（1）求曲線C的方程；
（2）過F1（-3，0）引一條傾斜角為45°的直線與曲線C相交于A、B兩點，求△ABF2的面積．發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：101引用：1難度：0.9 -
3．若過點（0，-1）的直線l與拋物線y2=2x有且只有一個交點，則這樣的直線有（ ?。l．
發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：26引用：5難度：0.7